Standart normal taqsimot
Standart normal taqsimot — o‘rtacha qiymati 0 ga, standart chetlanishi esa 1 ga teng bo‘lgan normal taqsimot.
Standart normal taqsimot
Normal taqsimlangan ma’lumotlarni standart normal taqsimotga o‘tkazish mumkin.
Normal taqsimlangan ma’lumotlarni standartlashtirish turli ma’lumotlar to‘plamlarini taqqoslashni osonlashtiradi.
Standart normal taqsimot quyidagilar uchun ishlatiladi:
- Ishonch oraliqlarini hisoblash
- Gipoteza testlari
Quyida standart chetlanishlar orasidagi ehtimollik qiymatlari (p-qiymatlar) ko‘rsatilgan standart normal taqsimot grafigi keltirilgan:
Standartlashtirish ehtimolliklarni hisoblashni osonlashtiradi.
Ehtimolliklarni hisoblash funksiyalari murakkab bo‘lib, ularni qo‘lda hisoblash qiyin.
Odatda ehtimolliklar oldindan hisoblangan qiymatlar jadvallaridan yoki dasturiy ta’minot va dasturlash yordamida topiladi.
Standart normal taqsimot "Z-taqsimot" deb ham ataladi, uning qiymatlari esa "Z-qiymatlar" (yoki Z-ballar, Z-scores) deb ataladi.
Z-qiymatlar
Z-qiymatlar qiymat o‘rtacha qiymatdan necha standart chetlanish uzoqlikda ekanini ifodalaydi.
Z-qiymatni hisoblash formulasi:
\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma}\)
\(x\) — standartlashtirilayotgan qiymat, \(\mu\) — o‘rtacha qiymat, \(\sigma\) esa standart chetlanish.
Masalan, agar quyidagilar ma’lum bo‘lsa:
The mean height of people in Germany is 170 cm (\(\mu\))
The standard deviation of the height of people in Germany is 10 cm (\(\sigma\))
Bob is 200 cm tall (\(x\))
Bob Germaniyadagi o‘rtacha odamdan 30 sm balandroq.
30 sm — bu 10 sm ning 3 barobari. Demak, Bobning bo‘yi Germaniyadagi o‘rtacha bo‘ydan 3 standart chetlanishga kattaroq.
Formuladan foydalanib:
\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{200-170}{10} = \frac{30}{10} = \underline{3} \)
Bobning bo‘yi (200 sm) uchun Z-qiymat 3 ga teng.
Z-qiymatning P-qiymatini topish
Z-jadval yoki dasturlash yordamida Germaniyada qancha odam Bobdan pastroq va qanchasi balandroq ekanini hisoblashimiz mumkin.
Misol
Python’da Z-qiymat 3 dan kichik bo‘lish ehtimolligini topish uchun Scipy Stats kutubxonasining norm.cdf() funksiyasidan foydalaning:
import scipy.stats as stats
print(stats.norm.cdf(3))
O‘zingiz sinab ko‘ring »
Misol
R’da Z-qiymat 3 dan kichik bo‘lish ehtimolligini topish uchun o‘rnatilgan pnorm() funksiyasidan foydalaning:
pnorm(3)
O‘zingiz sinab ko‘ring »
Istalgan usul yordamida ehtimollik \(\approx 0.9987\) ga, ya’ni \( 99.87\% \) ga teng ekanini topishimiz mumkin
Bu Bob Germaniyadagi odamlarning 99.87 foizidan baland ekanini bildiradi.
Quyida ehtimollikni ko‘rgazmali tasvirlash uchun standart normal taqsimot va 3 ga teng Z-qiymat grafigi keltirilgan:
Bu usullar bizdagi muayyan z-qiymatgacha bo‘lgan p-qiymatni topadi.
Z-qiymatdan yuqoridagi p-qiymatni topish uchun 1 dan ehtimollikni ayirishimiz mumkin.
Demak, Bob misolida 1 - 0.9987 = 0.0013, ya’ni 0.13% ni hisoblashimiz mumkin.
Bu nemislarning faqat 0.13 foizi Bobdan baland ekanini bildiradi.
Z-qiymatlar orasidagi P-qiymatni topish
Agar buning o‘rniga xuddi shu misoldan foydalanib, Germaniyada bo‘yi 155 sm va 165 sm oralig‘ida bo‘lgan odamlar qancha ekanini bilmoqchi bo‘lsak:
The mean height of people in Germany is 170 cm (\(\mu\))
The standard deviation of the height of people in Germany is 10 cm (\(\sigma\))
Endi 155 sm uchun ham, 165 sm uchun ham Z-qiymatlarni hisoblashimiz kerak:
\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{155-170}{10} = \frac{-15}{10} = \underline{-1.5} \)
155 sm uchun Z-qiymat -1.5 ga teng
\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{165-170}{10} = \frac{-5}{10} = \underline{-0.5} \)
165 sm uchun Z-qiymat -0.5 ga teng
Z-jadval yoki dasturlash yordamida ikkala z-qiymat uchun p-qiymatni topishimiz mumkin:
- Z-qiymat -0.5 dan kichik bo‘lish (bo‘yi 165 sm dan past bo‘lish) ehtimolligi 30.85%
- Z-qiymat -1.5 dan kichik bo‘lish (bo‘yi 155 sm dan past bo‘lish) ehtimolligi 6.68%
Z-qiymat ular orasida bo‘lish ehtimolligini topish uchun 30.85% dan 6.68% ni ayiring.
30.85% - 6.68% = 24.17%
Quyida bu jarayonni tasvirlovchi grafiklar keltirilgan:
P-qiymatning Z-qiymatini topish
Z-qiymatlarni topish uchun p-qiymatlardan (ehtimollikdan) ham foydalanishingiz mumkin.
Masalan:
"How tall are you if you are taller than 90% of Germans?"
P-qiymat 0.9 ga, ya’ni 90% ga teng.
Z-jadval yoki dasturlash yordamida z-qiymatni hisoblashimiz mumkin:
Misol
Python’da yuqori 10 foizni quyi 90 foizdan ajratib turadigan z-qiymatni topish uchun Scipy Stats kutubxonasining norm.ppf() funksiyasidan foydalaning:
import scipy.stats as stats
print(stats.norm.ppf(0.9))
O‘zingiz sinab ko‘ring »
Misol
R’da yuqori 10 foizni quyi 90 foizdan ajratib turadigan z-qiymatni topish uchun o‘rnatilgan qnorm() funksiyasidan foydalaning:
qnorm(0.9)
O‘zingiz sinab ko‘ring »
Istalgan usul yordamida Z-qiymat \(\approx 1.281\) ga teng ekanini topishimiz mumkin
Bu shuni anglatadiki, bo‘yi nemislarning o‘rtacha bo‘yidan 1.281 standart chetlanishga baland bo‘lgan odam nemislarning 90 foizidan balandroq.
So‘ngra o‘rtacha qiymat (\(\mu\)) 170 sm va standart chetlanish (\(\sigma\)) 10 sm ekaniga asoslanib, bo‘yni (\(x\)) hisoblash uchun formuladan foydalanamiz:
\(\displaystyle Z = \frac{x-\mu}{\sigma} \)
\(\displaystyle 1.281 = \frac{x-170}{10} \)
\(1.281 \cdot 10 = x-170 \)
\(12.81 = x - 170 \)
\(12.81 + 170 = x \)
\(\underline{182.81} = x \)
Demak, quyidagi xulosaga kelishimiz mumkin:
"You have to be at least 182.81 cm tall to be taller than 90% of Germans"
W3Schools Pathfinder
Yutuqlaringizni kuzating – bu bepul!