Standart chetlanish
Standart chetlanish — ma’lumotlar qanchalik tarqoq ekanini tavsiflovchi, eng ko‘p qo‘llaniladigan o‘zgaruvchanlik o‘lchovi.
Standart chetlanish
Standart chetlanish (σ) "tipik" kuzatuv ma’lumotlarning o‘rtacha qiymatidan (μ) qanchalik uzoqda ekanini o‘lchaydi.
Standart chetlanish ko‘plab statistik usullar uchun muhim.
Quyida 2020-yilgacha bo‘lgan barcha 934 nafar Nobel mukofoti sovrindorining yoshi bo‘yicha standart chetlanishlarni ko‘rsatuvchi gistogramma keltirilgan:
Gistogrammadagi har bir punktir chiziq yana bitta standart chetlanishga siljishni ko‘rsatadi.
Agar ma’lumotlar normal taqsimlangan bo‘lsa:
- Ma’lumotlarning taxminan 68.3 foizi o‘rtacha qiymatdan 1 standart chetlanish doirasida joylashgan (μ-1σ dan μ+1σ gacha)
- Ma’lumotlarning taxminan 95.5 foizi o‘rtacha qiymatdan 2 standart chetlanish doirasida joylashgan (μ-2σ dan μ+2σ gacha)
- Ma’lumotlarning taxminan 99.7 foizi o‘rtacha qiymatdan 3 standart chetlanish doirasida joylashgan (μ-3σ dan μ+3σ gacha)
Eslatma: Normal taqsimot "qo‘ng‘iroq" shakliga ega va ikkala tomonga teng tarqaladi.
Standart chetlanishni hisoblash
Standart chetlanishni bosh to‘plam uchun ham, tanlanma uchun ham hisoblash mumkin.
Formulalar deyarli bir xil, faqat standart chetlanish (\(\sigma\)) va tanlanma standart chetlanishi (\(s\)) uchun turli belgilar ishlatiladi.
Standart chetlanish (\(\sigma\)) quyidagi formula bilan hisoblanadi:
\(\displaystyle \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_{i}-\mu)^2}{n}}\)
Tanlanma standart chetlanishi (\(s\)) quyidagi formula bilan hisoblanadi:
\(\displaystyle s = \sqrt{\frac{\sum (x_{i}-\bar{x})^2}{n-1}}\)
\(n\) — kuzatuvlarning umumiy soni.
\(\sum \) — sonlar ro‘yxatini qo‘shish (yig‘indi) belgisi.
\(x_{i}\) — ma’lumotlardagi qiymatlar ro‘yxati: \(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \)
\(\mu\) — bosh to‘plam o‘rtachasi, \(\bar{x}\) esa tanlanma o‘rtachasi (o‘rtacha qiymat).
\( (x_{i} - \mu ) \) va \( (x_{i} - \bar{x} ) \) — kuzatuvlar qiymatlari (\(x_{i}\)) bilan o‘rtacha qiymat orasidagi farqlar.
Har bir farq kvadratga ko‘tariladi va ular qo‘shiladi.
So‘ngra yig‘indi \(n\) ga yoki (\( n - 1 \)) ga bo‘linadi va undan kvadrat ildiz olinadi.
Bosh to‘plam standart chetlanishini hisoblash uchun quyidagi 4 ta misol qiymatdan foydalanamiz:
4, 11, 7, 14
Avval o‘rtacha qiymatni topishimiz kerak:
\(\displaystyle \mu = \frac{\sum x_{i}}{n} = \frac{4 + 11 + 7 + 14}{4} = \frac{36}{4} = \underline{9} \)
So‘ngra har bir qiymat bilan o‘rtacha qiymat orasidagi farqni \( (x_{i}- \mu)\) topamiz:
- \( 4-9 \; \:= -5 \)
- \( 11-9 = 2 \)
- \( 7-9 \; \:= -2 \)
- \( 14-9 = 5 \)
Keyin har bir qiymat kvadratga ko‘tariladi, ya’ni o‘ziga ko‘paytiriladi \( ( x_{i}- \mu )^2\):
- \( (-5)^2 = (-5)(-5) = 25 \)
- \( 2^2 \; \; \; \; \; \, = 2*2 \; \; \; \; \; \; \; \: = 4 \)
- \( (-2)^2 = (-2)(-2) = 4 \)
- \( 5^2 \; \; \; \; \; \, = 5*5 \; \; \; \; \; \; \; \: = 25 \)
So‘ngra kvadratga ko‘tarilgan barcha farqlar qo‘shiladi \( \sum (x_{i} -\mu )^2\):
\( 25 + 4 + 4 + 25 = 58\)
Keyin yig‘indi kuzatuvlarning umumiy soniga, \( n \) ga bo‘linadi:
\( \displaystyle \frac{58}{4} = 14.5\)
Nihoyat, bu sondan kvadrat ildiz olamiz:
\( \sqrt{14.5} \approx \underline{3.81} \)
Demak, misol qiymatlarining standart chetlanishi taxminan: \(3.81 \)
Standart chetlanishni dasturlash yordamida hisoblash
Standart chetlanishni ko‘plab dasturlash tillarida osongina hisoblash mumkin.
Statistikalarni hisoblash uchun dasturiy ta’minot va dasturlashdan foydalanish katta ma’lumotlar to‘plamlarida ko‘proq uchraydi, chunki qo‘lda hisoblash qiyinlashadi.
Bosh to‘plam standart chetlanishi
Misol
Python’da 4,11,7,14 qiymatlarining standart chetlanishini topish uchun NumPy kutubxonasining std() metodidan foydalaning:
import numpy
values = [4,11,7,14]
x = numpy.std(values)
print(x)
O‘zingiz sinab ko‘ring »
Misol
4,11,7,14 qiymatlarining standart chetlanishini topish uchun R formulasidan foydalaning:
values <- c(4,7,11,14)
sqrt(mean((values-mean(values))^2))
O‘zingiz sinab ko‘ring »
Tanlanma standart chetlanishi
Misol
Python’da 4,11,7,14 qiymatlarining tanlanma standart chetlanishini topish uchun NumPy kutubxonasining std() metodidan foydalaning:
import numpy
values = [4,11,7,14]
x = numpy.std(values, ddof=1)
print(x)
O‘zingiz sinab ko‘ring »
Misol
4,11,7,14 qiymatlarining tanlanma standart chetlanishini topish uchun R’ning sd() funksiyasidan foydalaning:
values <- c(4,7,11,14)
sd(values)
O‘zingiz sinab ko‘ring »
Statistik belgilar ma’lumotnomasi
| Belgi | Tavsif |
|---|---|
| \( \sigma \) | Bosh to‘plam standart chetlanishi. "Sigma" deb o‘qiladi. |
| \( s \) | Tanlanma standart chetlanishi. |
| \( \mu \) | Bosh to‘plam o‘rtachasi. "Myu" deb o‘qiladi. |
| \( \bar{x} \) | Tanlanma o‘rtachasi. "Iks-bar" (x-bar) deb o‘qiladi. |
| \( \sum \) | Yig‘indi operatori, "katta sigma". |
| \( x \) | O‘rtacha qiymati hisoblanayotgan "x" o‘zgaruvchisi. |
| \( i \) | "x" o‘zgaruvchisining "i" indeksi. U o‘zgaruvchining har bir kuzatuvini aniqlaydi. |
| \( n \) | Kuzatuvlar soni. |
W3Schools Pathfinder
Yutuqlaringizni kuzating – bu bepul!