Bosh to‘plam o‘rtachasini baholash
Bosh to‘plam o‘rtachasi — bosh to‘plamdagi sonli o‘zgaruvchining o‘rtacha qiymati.
Bosh to‘plam o‘rtachalarini baholash uchun ishonch oraliqlaridan foydalaniladi.
Bosh to‘plam o‘rtachasini baholash
Bosh to‘plam parametrini baholash uchun tanlanmadan olingan statistikadan foydalaniladi.
Parametr uchun eng ehtimolli qiymat — nuqtaviy baho.
Bundan tashqari, baholangan parametr uchun quyi chegara va yuqori chegarani hisoblashimiz mumkin.
Xatolik chegarasi — quyi va yuqori chegaralarning nuqtaviy bahodan farqi.
Quyi va yuqori chegaralar birgalikda ishonch oralig‘ini belgilaydi.
Ishonch oralig‘ini hisoblash
Ishonch oralig‘ini hisoblash uchun quyidagi bosqichlardan foydalaniladi:
- Shartlarni tekshirish
- Nuqtaviy bahoni topish
- Ishonch darajasini tanlash
- Xatolik chegarasini hisoblash
- Ishonch oralig‘ini hisoblash
Masalan:
- Bosh to‘plam: Nobel mukofoti sovrindorlari
- O‘zgaruvchi: Nobel mukofotini olgan paytdagi yoshi
Tanlanma olib, shu tanlanmaning o‘rtacha qiymati va standart chetlanishini hisoblashimiz mumkin.
Tanlanma ma’lumotlari barcha Nobel mukofoti sovrindorlarining o‘rtacha yoshini baholash uchun ishlatiladi.
30 nafar Nobel mukofoti sovrindorini tasodifiy tanlab, quyidagini aniqlashimiz mumkin:
The mean age in the sample is 62.1
The standard deviation of age in the sample is 13.46
Bu ma’lumotlardan quyidagi bosqichlar orqali ishonch oralig‘ini hisoblashimiz mumkin.
1. Shartlarni tekshirish
O‘rtacha qiymat uchun ishonch oralig‘ini hisoblash shartlari:
- Tanlanma tasodifiy tanlangan
- Va quyidagilardan biri:
- Bosh to‘plam ma’lumotlari normal taqsimlangan
- Tanlanma hajmi yetarlicha katta
O‘rtacha kattalikdagi tanlanma hajmi, masalan 30, odatda yetarli hisoblanadi.
Misolda tanlanma hajmi 30 ga teng bo‘lgan va u tasodifiy tanlangan, shuning uchun shartlar bajarilgan.
Eslatma: Ma’lumotlar normal taqsimlanganini maxsus statistik testlar yordamida tekshirish mumkin.
2. Nuqtaviy bahoni topish
Nuqtaviy baho — tanlanma o‘rtachasi (\(\bar{x}\)).
Tanlanma o‘rtachasini hisoblash formulasi — barcha qiymatlar yig‘indisining \(\sum x_{i}\) tanlanma hajmiga (\(n\)) bo‘linmasi:
\(\displaystyle \bar{x} = \frac{\sum x_{i}}{n}\)
Misolimizda tanlanmadagi o‘rtacha yosh 62.1 ga teng edi.
3. Ishonch darajasini tanlash
Ishonch darajasi foiz yoki o‘nli kasr bilan ifodalanadi.
Masalan, agar ishonch darajasi 95% yoki 0.95 bo‘lsa:
U holda qolgan ehtimollik (\(\alpha\)): 5%, ya’ni 1 - 0.95 = 0.05.
Ko‘p ishlatiladigan ishonch darajalari:
- 90%, bunda \(\alpha\) = 0.1
- 95%, bunda \(\alpha\) = 0.05
- 99%, bunda \(\alpha\) = 0.01
Eslatma: 95% ishonch darajasi shuni anglatadiki, agar 100 ta turli tanlanma olib, har biri uchun ishonch oralig‘ini tuzsak:
Haqiqiy parametr o‘sha 100 martadan 95 tasida ishonch oralig‘i ichida bo‘ladi.
Ishonch oralig‘i uchun xatolik chegarasini topishda Styudentning t-taqsimotidan foydalanamiz.
T-taqsimot tanlanma hajmiga "erkinlik darajalari" (df) orqali moslashtiriladi.
Erkinlik darajalari tanlanma hajmi (n) - 1 ga teng, shuning uchun bu misolda u 30 - 1 = 29
Qolgan ehtimolliklar (\(\alpha\)) ikkiga bo‘linadi, shunda uning yarmi taqsimotning har bir dum sohasiga to‘g‘ri keladi.
T-qiymat o‘qidagi dum sohalarini o‘rta qismdan ajratib turadigan qiymatlar kritik t-qiymatlar deb ataladi.
Quyida 29 erkinlik darajasida (df) turli ishonch darajalari uchun dum sohalarini (\(\alpha\)) ko‘rsatuvchi standart normal taqsimot grafiklari keltirilgan.
4. Xatolik chegarasini hisoblash
Xatolik chegarasi — nuqtaviy baho bilan quyi va yuqori chegaralar orasidagi farq.
Ulush uchun xatolik chegarasi (\(E\)) kritik t-qiymat va standart xatolik yordamida hisoblanadi:
\(\displaystyle E = t_{\alpha/2}(df) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \)
Kritik t-qiymat \(t_{\alpha/2}(df) \) standart normal taqsimot va ishonch darajasidan hisoblanadi.
Standart xatolik \(\frac{s}{\sqrt{n}} \) tanlanma standart chetlanishi (\(s\)) va tanlanma hajmidan (\(n\)) hisoblanadi.
Tanlanma standart chetlanishi (\(s\)) 13.46 va tanlanma hajmi 30 bo‘lgan misolimizda standart xatolik:
\(\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{13.46}{\sqrt{30}} \approx \frac{13.46}{5.477} = \underline{2.458}\)
Agar ishonch darajasi sifatida 95% ni tanlasak, \(\alpha\) 0.05 ga teng bo‘ladi.
Demak, \(t_{0.05/2}(29) = t_{0.025}(29)\) kritik t-qiymatini topishimiz kerak
Kritik t-qiymatni t-jadval yordamida yoki dasturlash tili funksiyasi orqali topish mumkin:
Misol
Python’da \(\alpha\)/2 = 0.025 va 29 erkinlik darajasi uchun t-qiymatni topish uchun Scipy Stats kutubxonasining t.ppf() funksiyasidan foydalaning.
import scipy.stats as stats
print(stats.t.ppf(1-0.025, 29))
O‘zingiz sinab ko‘ring »
Misol
R’da \(\alpha\)/2 = 0.025 va 29 erkinlik darajasi uchun t-qiymatni topish uchun o‘rnatilgan qt() funksiyasidan foydalaning.
qt(1-0.025, 29)
O‘zingiz sinab ko‘ring »
Istalgan usul yordamida kritik t-qiymat \(t_{\alpha/2}(df)\) \(\approx \underline{2.05} \) ga teng ekanini topishimiz mumkin
Standart xatolik \(\frac{s}{\sqrt{n}}\) \( \approx \underline{2.458}\) ga teng edi
Demak, xatolik chegarasi (\(E\)):
\(\displaystyle E = t_{\alpha/2}(df) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \approx 2.05 \cdot 2.458 = \underline{5.0389}\)
5. Ishonch oralig‘ini hisoblash
Ishonch oralig‘ining quyi va yuqori chegaralari nuqtaviy bahodan (\(\bar{x}\)) xatolik chegarasini (\(E\)) ayirish va unga qo‘shish orqali topiladi.
Misolimizda nuqtaviy baho 0.2, xatolik chegarasi esa 0.143 edi, u holda:
Quyi chegara:
\(\bar{x} - E = 62.1 - 5.0389 \approx \underline{57.06} \)
Yuqori chegara:
\(\bar{x} + E = 62.1 + 5.0389 \approx \underline{67.14} \)
Ishonch oralig‘i:
\([57.06, 67.14]\)
Ishonch oralig‘ini quyidagicha xulosalashimiz mumkin:
The 95% confidence interval for the mean age of Nobel Prize winners is between 57.06 and 67.14 years
Ishonch oralig‘ini dasturlash yordamida hisoblash
Ishonch oralig‘ini ko‘plab dasturlash tillarida hisoblash mumkin.
Statistikalarni hisoblash uchun dasturiy ta’minot va dasturlashdan foydalanish katta ma’lumotlar to‘plamlarida ko‘proq uchraydi, chunki qo‘lda hisoblash qiyinlashadi.
Eslatma: Qo‘lda hisoblashda qiymatlar yaxlitlangani sababli dasturiy kod yordamida olingan natijalar aniqroq bo‘ladi.
Misol
Python’da baholangan ulush uchun ishonch oralig‘ini hisoblash uchun scipy va math kutubxonalaridan foydalaning.
Bu yerda tanlanma hajmi 30, tanlanma o‘rtachasi 62.1, tanlanma standart chetlanishi esa 13.46 ga teng.
import scipy.stats as stats
import math
# Specify sample mean (x_bar), sample standard deviation (s), sample size (n) and confidence level
x_bar = 62.1
s = 13.46
n = 30
confidence_level = 0.95
# Calculate alpha, degrees of freedom (df), the critical t-value, and the margin of error
alpha = (1-confidence_level)
df = n - 1
standard_error = s/math.sqrt(n)
critical_t = stats.t.ppf(1-alpha/2, df)
margin_of_error = critical_t * standard_error
# Calculate the lower and upper bound of the confidence interval
lower_bound = x_bar - margin_of_error
upper_bound = x_bar + margin_of_error
# Print the results
print("Critical t-value: {:.3f}".format(critical_t))
print("Margin of Error: {:.3f}".format(margin_of_error))
print("Confidence Interval: [{:.3f},{:.3f}]".format(lower_bound,upper_bound))
print("The {:.1%} confidence interval for the population mean is:".format(confidence_level))
print("between {:.3f} and {:.3f}".format(lower_bound,upper_bound))
O‘zingiz sinab ko‘ring »
Misol
R baholangan ulush uchun ishonch oralig‘ini hisoblashda o‘rnatilgan matematik va statistik funksiyalardan foydalanishi mumkin.
Bu yerda tanlanma hajmi 30, tanlanma o‘rtachasi 62.1, tanlanma standart chetlanishi esa 13.46 ga teng.
# Specify sample mean (x_bar), sample standard deviation (s), sample size (n) and confidence level
x_bar = 62.1
s = 13.46
n = 30
confidence_level = 0.95
# Calculate alpha, degrees of freedom (df), the critical t-value, and the margin of error
alpha = (1-confidence_level)
df = n - 1
standard_error = s/sqrt(n)
critical_t = qt(1-alpha/2, 29)
margin_of_error = critical_t * standard_error
# Calculate the lower and upper bound of the confidence interval
lower_bound = x_bar - margin_of_error
upper_bound = x_bar + margin_of_error
# Print the results
sprintf("Critical t-value: %0.3f", critical_t)
sprintf("Margin of Error: %0.3f", margin_of_error)
sprintf("Confidence Interval: [%0.3f,%0.3f]", lower_bound, upper_bound)
sprintf("The %0.1f%% confidence interval for the population mean is:", confidence_level*100)
sprintf("between %0.4f and %0.4f", lower_bound, upper_bound)
O‘zingiz sinab ko‘ring »
Eslatma: R’da bosh to‘plam o‘rtachasi uchun ishonch oralig‘ini hisoblaydigan o‘rnatilgan funksiya ham bor.
Misol
R baholangan o‘rtacha qiymat uchun ishonch oralig‘ini hisoblashda o‘rnatilgan t.test() funksiyasidan foydalanishi mumkin.
Bu yerda tanlanma rnorm() funksiyasi yordamida hosil qilingan, o‘rtacha qiymati 60 va standart chetlanishi 12.5 bo‘lgan 30 ta tasodifiy qiymatdan iborat.
# Specify sample size (n) and confidence level
n = 30
confidence_level = 0.95
# Set random seed and generate sample data with mean of 60 and standard deviation of 12.5
set.seed(3)
sample <- rnorm(n, 60, 12.5)
# t.test function for sample data, confidence level, and selecting the $conf.int option
t.test(sample, conf.level = confidence_level)$conf.int
O‘zingiz sinab ko‘ring »
W3Schools Pathfinder
Yutuqlaringizni kuzating – bu bepul!