Normal taqsimot

---

Normal taqsimot — statistikada qo‘llaniladigan muhim ehtimollik taqsimoti.

Real hayotdagi ko‘plab ma’lumotlar normal taqsimlangan bo‘ladi.

---

Normal taqsimot

Normal taqsimot o‘rtacha qiymat (\(\mu\)) va standart chetlanish (\(\sigma\)) bilan tavsiflanadi.

Normal taqsimot shakli tufayli ko‘pincha "qo‘ng‘iroqsimon egri chiziq" (bell curve) deb ataladi:

• Qiymatlarning aksariyati markaz (\(\mu\)) atrofida joylashgan
• Mediana va o‘rtacha qiymat teng
• U faqat bitta modaga ega
• U simmetrik, ya’ni markazdan chapga va o‘ngga bir xil miqdorda kamayadi

Normal taqsimot egri chizig‘i ostidagi yuza ma’lumotlar uchun ehtimolliklarni ifodalaydi.

Butun egri chiziq ostidagi yuza 1 ga, ya’ni 100% ga teng

Quyida standart chetlanishlar (\(\sigma\)) orasidagi ehtimolliklar ko‘rsatilgan normal taqsimot grafigi keltirilgan:

• Ma’lumotlarning taxminan 68.3 foizi o‘rtacha qiymatdan 1 standart chetlanish doirasida joylashgan (μ-1σ dan μ+1σ gacha)
• Ma’lumotlarning taxminan 95.5 foizi o‘rtacha qiymatdan 2 standart chetlanish doirasida joylashgan (μ-2σ dan μ+2σ gacha)
• Ma’lumotlarning taxminan 99.7 foizi o‘rtacha qiymatdan 3 standart chetlanish doirasida joylashgan (μ-3σ dan μ+3σ gacha)

---

Turli o‘rtacha qiymat va standart chetlanishlar

O‘rtacha qiymat normal taqsimotning markazi qayerda ekanini tavsiflaydi.

Quyida standart chetlanishi bir xil, lekin o‘rtacha qiymatlari turlicha bo‘lgan uchta normal taqsimot grafigi keltirilgan.

Standart chetlanish normal taqsimot qanchalik yoyiq ekanini tavsiflaydi.

Quyida o‘rtacha qiymati bir xil, lekin standart chetlanishlari turlicha bo‘lgan uchta normal taqsimot grafigi keltirilgan.

Binafsha egri chiziq eng katta standart chetlanishga, qora egri chiziq esa eng kichik standart chetlanishga ega.

Har bir egri chiziq ostidagi yuza baribir 1 ga, ya’ni 100% ga teng.

---

Normal taqsimlangan ma’lumotlarga real misol

Real hayotdagi ma’lumotlar ko‘pincha normal taqsimlangan bo‘ladi.

Quyida Nobel mukofoti sovrindorlarining mukofotni olgan paytdagi yoshi bo‘yicha gistogramma keltirilgan:

Gistogramma ustiga chizilgan normal taqsimot real ma’lumotlarning bosh to‘plam o‘rtachasi (\(\mu\)) va standart chetlanishiga (\(\sigma\)) asoslangan.

Ko‘rib turganimizdek, gistogramma normal taqsimotga yaqin.

Normal taqsimlangan bo‘lishi mumkin bo‘lgan real hayotdagi o‘zgaruvchilarga misollar:

• Test ballari
• Bo‘y
• Tug‘ilgandagi vazn

---

---

Ehtimollik taqsimotlari

Ehtimollik taqsimotlari — tasodifiy miqdorlar natijalarining ehtimolliklarini hisoblaydigan funksiyalar.

Tasodifiy miqdorlarning odatiy misollari — tanga tashlash va o‘yin soqqasini tashlash.

Quyida tanga tashlashlar soni ortib borishi bilan olingan natijalar va natijalarning (gerb yoki raqam) kutilgan qiymatlari ko‘rsatilgan grafik keltirilgan.

Tanga tashlashning kutilgan qiymatlari — tanga tashlashning ehtimollik taqsimoti.

E’tibor bering: tashlashlar soni ortgani sari tasodifiy tanga tashlashlar natijasi kutilgan qiymatlarga (50%) yaqinlashib boradi.

Xuddi shunday, quyida soqqa tashlashlar soni ortib borishi bilan olingan natijalar va natijalarning (1 dan 6 gacha) kutilgan qiymatlari ko‘rsatilgan grafik keltirilgan.

Yana e’tibor bering: tashlashlar soni ortgani sari tasodifiy soqqa tashlashlar natijasi kutilgan qiymatlarga (1/6, ya’ni 16.666%) yaqinlashib boradi.

Tasodifiy miqdor soqqa tashlashlar yig‘indisi bo‘lganda natijalar va kutilgan qiymatlar boshqacha shaklga ega bo‘ladi.

Shakl boshqacha bo‘lishining sababi — o‘rtaga yaqin yig‘indini olish usullari kichik yoki katta yig‘indini olish usullaridan ko‘proq.

Yig‘indi uchun soqqalar sonini oshirib borganimiz sari natijalar va kutilgan qiymatlar shakli normal taqsimotga tobora ko‘proq o‘xshab boradi.

Real hayotdagi ko‘plab o‘zgaruvchilar shunga o‘xshash qonuniyatga bo‘ysunadi va tabiiy ravishda normal taqsimot hosil qiladi.

Normal taqsimlangan o‘zgaruvchilarni yaxshi ma’lum usullar bilan tahlil qilish mumkin.

Keyingi sahifalarda eng keng tarqalgan va foydali usullarning ba’zilari bilan tanishasiz.