Ikkilik sonlar
Ikkilik sonlar — bu har bir raqami faqat ikkita qiymatdan biriga ega bo‘lishi mumkin bo‘lgan sonlar: 0 va 1.
Ikkilik son nima?
Ikkilik son faqat 0 yoki 1 qiymatli raqamlardan iborat bo‘lishi mumkin.
Ikkilik sonlarda sanash qanday ishlashini ko‘rish uchun quyidagi tugmalarni bosing:
Ikkilik
{{ aValueBinary }}
O‘nlik
{{ aValue }}
Ikkilik sonlarni tushunish muhim, chunki ular barcha raqamli ma’lumotlarning asosidir: kompyuterlar ma’lumotlarni faqat ikkilik shaklda, bitlar va baytlar yordamida saqlay oladi.
Masalan, kompyuterda saqlangan 01000001 ikkilik soni ma’lumot tipiga, ya’ni kompyuter ma’lumotni qanday talqin qilishiga qarab, A harfi yoki 65 o‘nlik soni bo‘lishi mumkin.
Decimal (o‘nlik) atamasi lotincha "decem" — "o‘n" so‘zidan kelib chiqqan, chunki bu sanoq tizimi (odatdagi kundalik sonlarimiz) qiymatlarni ifodalash uchun o‘nta raqamga asoslanadi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 va 9.
Xuddi shunday, binary (ikkilik) atamasi lotincha "bi" — "ikki" so‘zidan kelib chiqqan, chunki bu sanoq tizimi qiymatlarni ifodalash uchun faqat ikkita raqamdan foydalanadi: 0 va 1.
O‘nlik sonlarda sanash
Ikkilik sonlarda sanashni yaxshiroq tushunish uchun avval o‘zimizga odatiy bo‘lgan sonlarni — o‘nlik sonlarni tushunib olgan ma’qul.
O‘nlik tizimda tanlash uchun 10 ta turli raqam bor (0,..,9).
Sanashni eng kichik qiymatdan boshlaymiz: 0.
0 dan boshlab yuqoriga sanash quyidagicha ko‘rinadi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
9 gacha sanaganimizdan keyin o‘nlik tizimdagi barcha mavjud raqamlarni ishlatib bo‘lamiz, shuning uchun chap tomonga yangi 1 raqamini qo‘shishimiz va eng o‘ngdagi raqamni 0 ga qaytarishimiz kerak — 10 hosil bo‘ladi.
Shunga o‘xshash holat 99 da ham yuz beradi. Sanashni davom ettirish uchun chap tomonga yangi 1 raqamini qo‘shishimiz va mavjud raqamlarni 0 ga qaytarishimiz kerak — 100 hosil bo‘ladi.
Yuqoriga sanaganda, har safar raqamlarning barcha mumkin bo‘lgan kombinatsiyalari ishlatib bo‘linganda, sanashni davom ettirish uchun yangi raqam qo‘shishimiz kerak. Bu ikkilik sonlarda sanashga ham tegishli.
Ikkilik tizimda sanash
Ikkilik tizimda sanash o‘nlik tizimda sanashga juda o‘xshaydi, lekin 10 ta turli raqam o‘rniga bizda faqat ikkita raqam bor: 0 va 1.
Ikkilik tizimda sanashni boshlaymiz:
0
Keyingi son:
1
Hozircha hammasi yaxshi, to‘g‘rimi?
Lekin endi ikkilik tizimdagi barcha mavjud raqamlarni ishlatib bo‘ldik, shuning uchun chap tomonga yangi 1 raqamini qo‘shishimiz va eng o‘ngdagi raqamni 0 ga qaytarishimiz kerak — 10 hosil bo‘ladi.
Sanashni davom ettiramiz:
10
11
Yana shunday bo‘ldi! Qiymatlarning barcha mumkin bo‘lgan kombinatsiyalarini ishlatib bo‘ldik, shuning uchun chap tomonga yana bitta yangi 1 raqamini qo‘shishimiz va mavjud raqamlarni 0 ga qaytarishimiz kerak — 100 hosil bo‘ladi.
Bu o‘nlik tizimda 99 dan 100 ga o‘tganda sodir bo‘ladigan holatga o‘xshaydi.
Uchinchi raqamdan foydalanib, davom etamiz:
100
101
110
111
Endi yana barcha turli raqamlarni ishlatib bo‘ldik, shuning uchun chap tomonga yana bir 1 raqamini qo‘shishimiz va mavjud raqamlarni 0 ga qaytarishimiz kerak — 1000 hosil bo‘ladi.
Yangi to‘rtinchi raqamdan foydalanib, sanashni davom ettirishimiz mumkin:
1000
1001
...
..
Va hokazo.
Ikkilik tizimda sanash bilan o‘nlik tizimda sanash o‘rtasidagi o‘xshashliklarni ko‘ra olsangiz, ikkilik sonlarni tushunish ancha osonlashadi.
O‘nlik sonni o‘nlik songa o‘girish
Ikkilik sonlar o‘nlik sonlarga qanday o‘girilishini tushunish uchun avval o‘nlik sonlar 10 asosli o‘nlik tizimda o‘z qiymatini qanday olishini ko‘rib chiqqan ma’qul.
374 o‘nlik sonida 3 ta yuzlik, 7 ta o‘nlik va 4 ta birlik bor, to‘g‘rimi?
Buni quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[ \begin{equation} \begin{aligned} 374 {} & = 3 \cdot \underline{10^2} + 7 \cdot \underline{10^1} + 4 \cdot \underline{10^0} \\[8pt] & = 3 \cdot \underline{100} + 7 \cdot \underline{10} + 4 \cdot \underline{1} \\[8pt] & = 300 + 70 + 4 \\[8pt] & = 374 \end{aligned} \end{equation} \]
Yuqoridagi hisob ikkilik sonlar o‘nlik sonlarga qanday o‘girilishini yaxshiroq tushunishga yordam beradi.
Hisobning birinchi qatorida \(10\) uch marta uchrayotganiga e’tibor berdingizmi?
\[ 374 = 3 \cdot \underline{10}^2 + 7 \cdot \underline{10}^1 + 4 \cdot \underline{10}^0 \]
Buning sababi — \(10\) o‘nlik sanoq tizimining asosi. Har bir o‘nlik raqam \(10\) ning darajasiga ko‘paytiriladi, shuning uchun u 10 asosli sanoq tizimi deb ataladi.
Ikkilik sonni o‘nlik songa o‘girish
Ikkilik sondan o‘nlik songa o‘girishda raqamlarni 10 ning darajalari o‘rniga 2 ning darajalariga ko‘paytiramiz.
101 ikkilik sonini o‘nlik songa o‘giraylik:
\[ \begin{equation} \begin{aligned} 101 {} & = 1 \cdot \underline{2^2} + 0 \cdot \underline{2^1} + 1 \cdot \underline{2^0} \\[8pt] & = 1 \cdot \underline{4} + 0 \cdot \underline{2} + 1 \cdot \underline{1} \\[8pt] & = 4 + 0 + 1 \\[8pt] & = 5 \end{aligned} \end{equation} \]
Hisobning birinchi qatorida har bir ikkilik raqam 2 ning shu raqam o‘rniga teng darajasiga ko‘paytiriladi.
Eng o‘ngdagi raqamdan boshlab birinchi o‘rin 0 hisoblanadi. Masalan, eng chapdagi raqam \(2^2\) ga ko‘paytiriladi, chunki eng chapdagi raqamning o‘rni 2.
Har bir ikkilik raqam 2 ning darajasiga ko‘paytirilgani uchun u 2 asosli sanoq tizimi deb ataladi.
Yuqoridagi hisob 101 ikkilik soni 5 o‘nlik soniga teng ekanini ko‘rsatadi.
Boshqa ikkilik sonlar o‘nlik sonlarga qanday o‘girilishini ko‘rish uchun quyidagi alohida ikkilik raqamlarni bosing:
Ikkilik
O‘nlik
{{ bit }}
{{ aValueDecimal }}
Hisob
{{aValueBinary}}
=
+
=
+
=
+
=
Ikkilik raqam qanchalik chapda joylashsa, u shunchalik kattaroq songa ko‘paytiriladi, shuning uchun eng chapdagi ikkilik raqam eng katta ahamiyatli bit (most significant bit) deb ataladi.
Xuddi shunday, eng o‘ngdagi raqam eng kichik ahamiyatli bit (least significant bit) deb ataladi, chunki u faqat \(2^0 = 1\) ga ko‘paytiriladi.
Ko‘nikma hosil qilish uchun yana bir 110101 ikkilik sonini o‘nlik songa o‘giraylik:
\[ \begin{equation} \begin{aligned} 110101 {} & = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \\[8pt] & = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 \\[8pt] & = 53 \end{aligned} \end{equation} \]
Ko‘rib turganingizdek, har bir ikkilik raqam 2 ning darajasiga, ya’ni 2 ning raqam o‘rniga teng darajasiga ko‘paytiriladi.
O‘nlik sonni ikkilik songa o‘girish
O‘nlik sonni ikkilik songa o‘girish uchun qoldiqlarni yozib borgan holda uni qayta-qayta 2 ga bo‘lishimiz mumkin.
13 ni ikkilik songa o‘giraylik:
\[ \begin{aligned} 13 \div 2 &= 6,\ \text{qoldiq } \underline{1} \\[8pt] 6 \div 2 &= 3,\ \text{qoldiq } \underline{0} \\[8pt] 3 \div 2 &= 1,\ \text{qoldiq } \underline{1} \\[8pt] 1 \div 2 &= 0,\ \text{qoldiq } \underline{1} \end{aligned} \]
Qoldiqlarni pastdan yuqoriga qarab o‘qisak, 13 ning ikkilik ko‘rinishi bo‘lgan 1101 ni olamiz.
O‘nlik son ikkilik songa qanday o‘girilishini ko‘rish uchun quyidagi alohida o‘nlik raqamlarni bosing:
O‘nlik
Ikkilik
{{ digit }}
{{ aValueBinary }}
Hisob
Ikkilik natija:
Manfiy ikkilik sonlar
Ikkilik sonlar eng chapdagi bitni ishora sifatida talqin qilish orqali manfiy qiymatlarni ham ifodalay oladi.
Ishorali ikkilik son eng chapdagi bit 1 bo‘lsa manfiy, eng chapdagi bit 0 bo‘lsa musbat bo‘ladi.
Eng chapdagi bitni ishora biti sifatida ishlatganda, 8 bit bilan ifodalash mumkin bo‘lgan eng katta musbat son 01111111 bo‘lib, u 127 ga teng.
Musbat ishorali ikkilik sonlar (eng chapdagi bit 0 bo‘lganda) o‘nlik sonlarga xuddi shu sahifada yuqorida tavsiflanganidek hisoblanadi.
Lekin ishora biti 1 bo‘lganda son manfiy bo‘ladi va o‘nlik qiymatni hisoblash uchun qo‘shimcha kod (two’s complement) deb ataladigan usuldan foydalaniladi.
Qo‘shimcha kod usuli ikkilik sonning barcha bitlarini (ishora bitidan tashqari) teskarisiga o‘zgartiradi va natijaga 1 ni qo‘shadi.
Misol sifatida 11111110 ikkilik sonini olaylik.
Kompyuter ishora biti 1 ekanini ko‘radi, shuning uchun son manfiy ekanini biladi va o‘nlik qiymatni hisoblash uchun qo‘shimcha kod usulidan foydalanadi.
Ishora bitini olib tashlasak, 1111110 hosil bo‘ladi.
Barcha bitlarni teskarisiga o‘zgartirsak, 0000001 hosil bo‘ladi.
Natijaga 1 ni qo‘shsak, 0000010 hosil bo‘ladi, bu 2 ga teng.
Dastlabki son manfiy bo‘lgani uchun 11111110 ishorali ikkilik sonini o‘nlik songa o‘girish natijasi -2 bo‘ladi.
Boshqa ikkilik amallar
Ikkilik sonlarni xuddi o‘nlik sonlar kabi qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish mumkin.
Aslida kompyuter ikkilik sonlar ustida yana ko‘plab amallarni bajara oladi, lekin bu sahifa faqat ikkilik sonlar haqida boshlang‘ich tushuncha berishga qaratilgan.
W3Schools Pathfinder
Yutuqlaringizni kuzating – bu bepul!